Teoria dei giochi by Pierpaolo Battigalli

autore:Pierpaolo Battigalli [Battigalli, Pierpaolo]
La lingua: ita
Format: epub
editore: Treccani
pubblicato: 0101-01-01T00:00:00+00:00

a

b

c

d.d.d

0, 1/2

1, 1/3

1, 1/6

d.f.d

1/3, 5/6

2/3, 1/3

2/3, 1/2

d.d.f

1/6, 2/3

5/6, 1/2

5/6, 1/6

d.f.f

1/2, 1

1/2, 1/2

1/2, 1/2

σIo=f.d.d

1/2, 1/2

3/2, 5/6

3/2, 2/3

f.d.f

2/3, 2/3

4/3, 1

4/3, 2/3

f.f.d

5/6, 5/6

7/6, 5/6

7/6, 1

σIo=f.f.f

1,1

1,1

1,1

TABELLA 4. MATRICE ASSOCIATA AL GIOCO BAYESIANO DELLA FIGURA 2

Per comprendere meglio la definizione di equilibrio bayesiano, si immagini che un ragionamento strategico trasparente, basato (anche) sull’ipotesi di razionalità, porti a una conclusione univoca sulla scelta di ogni giocatore per ogni suo possibile tipo. Risultano allora individuate una congettura σI di II su I e una congettura σII di I su II. Poiché il ragionamento è trasparente, il giocatore j conclude altresì che σj è la congettura di i nei suoi confronti. Dunque j si aspetta che i, qualunque sia il suo tipo, adotti una strategia ottima rispetto alla congettura σj. In conclusione, deve valere la seguente condizione: per ogni giocatore i e ogni possibile tipo θI, la strategia (congetturata) σI (θI) massimizza l’utilità attesa di i, dato θI e data la congettura σj sul giocatore j, altrimenti vorrebbe dire che le conclusioni del ragionamento strategico violano l’ipotesi di razionalità di almeno un giocatore, per almeno un suo tipo possibile. Analizzando l’esempio, si può verificare che un profilo di funzioni di scelta ha questa proprietà se e solo se è un equilibrio strategico del gioco fittizio associato. Harsanyi ha mostrato che questo risultato è valido per ogni gioco bayesiano.

La nozione di equilibrio bayesiano è adeguata per l’analisi dei giochi statici e anche di alcuni interessanti giochi dinamici. Per esempio, è stata applicata con grande successo allo studio delle aste51 e più in generale dei meccanismi di scambio52. Ma ci sono molti giochi dinamici in cui la nozione di equilibrio bayesiano, analogamente all’equilibrio strategico di Nash, non consente di eliminare minacce o promesse non credibili. Per eliminare questi equilibri poco plausibili, la “vulgata” adotta una variante del concetto di equilibrio perfetto. Intuitivamente, si dovrebbe associare una specie di “sottogioco bayesiano” GB(h) a ogni storia parziale h e richiedere che il profilo di equilibrio σ = (σI,σII) determini un equilibrio bayesiano di GB(h), per ogni h. Per avere un ben definito gioco bayesiano a partire dalla storia h è però necessario specificare le credenze di ogni giocatore i sul tipo altrui condizionate all’osservazione di h, indicate col simbolo μI (θj|h). Le credenze condizionate dipendono tuttavia dalle congetture di equilibrio e quindi, contrariamente alle credenze iniziali sul tipo altrui, sono endogene.

Questo punto si può chiarire considerando l’equilibrio σ* nel gioco della figura 2. Se la congettura di II è σI* e II osserva l’azione d, allora II esclude il tipo αI, assegnandogli probabilità condizionata nulla e riscalando equi-proporzionalmente le probabilità degli altri due tipi in modo che sommino a uno. Poiché βI è inizialmente considerato due volte più probabile di γI, il risultato è μ*II(αI|d) = 0, μ*II(βI|d) = 2/3, μ*II(γI|d) = 1/3 (questo calcolo può essere visto come un’applicazione della cosiddetta “regola di Bayes”).

Se invece si considera l’equilibrio σo, la regola non è applicabile: infatti non si può dedurre la credenza condizionata all’azione d dalla congettura σIo perché σIo esclude che d possa verificarsi.

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